Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem1 20249
 Description: Lemma 1 for m2detleib 20256. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 4145 . . . . 5 (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
4 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2610 . . . . . . . . 9 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 17765 . . . . . . . 8 (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
92, 8syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) = 1)
10 1z 11284 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
119, 10syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
12 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 17766 . . . . . . . 8 (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
1412, 13syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) = -1)
15 neg1z 11290 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
1614, 15syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
1711, 16jaoi 393 . . . . 5 ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
19 1ex 9914 . . . . 5 1 ∈ V
20 2nn 11062 . . . . 5 2 ∈ ℕ
214, 5, 3symg2bas 17641 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
2219, 20, 21mp2an 704 . . . 4 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
2318, 22eleq2s 2706 . . 3 (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
24 m2detleiblem1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25 eqid 2610 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
26 m2detleiblem1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2724, 25, 26zrhmulg 19677 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ))
2823, 27sylan2 490 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ))
297a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
3029fveq1d 6105 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
3130oveq1d 6564 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
3228, 31eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  -cneg 10146  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  Basecbs 15695  .gcmg 17363  SymGrpcsymg 17620  pmTrspcpmtr 17684  pmSgncpsgn 17732  1rcur 18324  Ringcrg 18370  ℤRHomczrh 19667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671 This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  20250  m2detleiblem6  20251
 Copyright terms: Public domain W3C validator