Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubprop 16809
 Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubprop.l = (le‘𝐾)
lubprop.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubprop.k (𝜑𝐾𝑉)
lubprop.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lubprop (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   (𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubprop.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lubprop.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lubprop.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 250 . . . 4 ((∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
5 lubprop.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
6 lubprop.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 16805 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 16807 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
98eqcomd 2616 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) = (𝑈𝑆))
101, 3, 5, 6lubcl 16808 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 16806 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
12 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑦 𝑥𝑦 (𝑈𝑆)))
1312ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆)))
14 breq1 4586 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑈𝑆) 𝑧))
1514imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
1615ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
1713, 16anbi12d 743 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧))))
1817riota2 6533 . . 3 (((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) → ((∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) = (𝑈𝑆)))
1910, 11, 18syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) = (𝑈𝑆)))
209, 19mpbird 246 1 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  Basecbs 15695  lecple 15775  lubclub 16765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-lub 16797 This theorem is referenced by:  luble  16810  lublem  16941
 Copyright terms: Public domain W3C validator