Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lublecl 16812
 Description: The set of all elements less than a given element has an LUB. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublecl.l = (le‘𝐾)
lublecl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lublecl.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
lublecl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lublecl (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem lublecl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3650 . . 3 {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵)
3 lublecl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 lublecl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublecl.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 lublecl.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
7 lublecl.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
84, 5, 6, 7, 3lublecllem 16811 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
98ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
10 reu6i 3364 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
113, 9, 10syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
12 biid 250 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
134, 5, 6, 12, 7lubeldm 16804 . 2 (𝜑 → ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈 ↔ ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))))
142, 11, 13mpbir2and 959 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  lubclub 16765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator