Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq 34453
 Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrne.l = (le‘𝐾)
ltrne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq
StepHypRef Expression
1 simp11 1084 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1085 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐹𝑇)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrne.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 𝑊)
8 ltrne.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 ltrne.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 ltrne.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
113, 8, 9, 10ltrnval1 34438 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
121, 2, 6, 7, 11syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
13 simp13 1086 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐺𝑇)
143, 8, 9, 10ltrnval1 34438 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
151, 13, 6, 7, 14syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
1612, 15eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
17163expia 1259 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
18 pm2.61 182 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
20 re1tbw2 1662 . . . 4 ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2119, 20impbid1 214 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2221ralbidva 2968 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
234, 9, 10ltrneq2 34452 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
2422, 23bitrd 267 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409 This theorem is referenced by:  cdlemj2  35128
 Copyright terms: Public domain W3C validator