Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncvr 34437
Description: Covering property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncvr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrncvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
ltrncvr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncvr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncvr (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrncvr
StepHypRef Expression
1 simp1l 1078 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾𝑉)
2 ltrncvr.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2610 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrncvr.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 34427 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1074 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3l 1082 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simp3r 1083 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
9 ltrncvr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 ltrncvr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
119, 10, 3lautcvr 34396 . 2 ((𝐾𝑉 ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
121, 6, 7, 8, 11syl13anc 1320 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  ccvr 33567  LHypclh 34288  LAutclaut 34289  LTrncltrn 34405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-plt 16781  df-covers 33571  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409
This theorem is referenced by:  ltrnatb  34441
  Copyright terms: Public domain W3C validator