Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvatb 34442
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb
StepHypRef Expression
1 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrn1o 34428 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
5 f1ocnvdm 6440 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
64, 5stoic3 1692 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
7 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 7, 2, 3ltrnatb 34441 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
96, 8syld3an3 1363 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
10 f1ocnvfv2 6433 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
114, 10stoic3 1692 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
1211eleq1d 2672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴𝑃𝐴))
139, 12bitr2d 268 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  ccnv 5037  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  Basecbs 15695  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-plt 16781  df-glb 16798  df-p0 16862  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409
This theorem is referenced by:  ltrncnvat  34445
  Copyright terms: Public domain W3C validator