Theorem ltltncvr 33727

Description: A chained strong ordering is not a covers relation. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltltncvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltltncvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ltltncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ltltncvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Proof of Theorem ltltncvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simplr1 1096	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr3 1098	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simplr2 1097	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋𝐶𝑍)
6		ltltncvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltltncvr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
8		ltltncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	6, 7, 8	cvrnbtwn 33576	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1331	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
11	10	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
12	11	con2d 128	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  ltcplt 16764   ⋖ ccvr 33567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-covers 33571

This theorem is referenced by:  ltcvrntr  33728