Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt4addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
lt4addmuld (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

StepHypRef Expression
1 lt4addmuld.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt4addmuld.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lt4addmuld.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6 lt4addmuld.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 3re 10971 . . . . 5 3 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9 lt4addmuld.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 9949 . . 3 (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11 lt4addmuld.alte . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐸)
12 lt4addmuld.blte . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐸)
13 lt4addmuld.clte . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝐸)
141, 2, 4, 9, 11, 12, 13lt3addmuld 38456 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15 lt4addmuld.dlte . . 3 (𝜑𝐷 < 𝐸)
165, 6, 10, 9, 14, 15lt2addd 10529 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17 df-4 10958 . . . . 5 4 = (3 + 1)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 = (3 + 1))
1918oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
208recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
219recnd 9947 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2220, 21adddirp1d 9945 . . 3 (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
2319, 22eqtr2d 2645 . 2 (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
2416, 23breqtrd 4609 1 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  3c3 10948  4c4 10949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958 This theorem is referenced by:  limclner  38718
 Copyright terms: Public domain W3C validator