Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 38456
 Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd (𝜑𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd (𝜑𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lt3addmuld.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
86, 7remulcld 9949 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐷)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐷)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 11159 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 10529 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
146recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
157recnd 9947 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15adddirp1d 9945 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17 2p1e3 11028 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
2016, 19eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
2113, 20breqtrd 4609 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  2c2 10947  3c3 10948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-2 10956  df-3 10957 This theorem is referenced by:  lt4addmuld  38461
 Copyright terms: Public domain W3C validator