Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssn0 18769
 Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0g𝑊)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2611 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2611 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2611 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2611 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 18715 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1110snssd 4281 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
139, 12eqeltri 2684 . . . 4 0 ∈ V
1413snnz 4252 . . 3 { 0 } ≠ ∅
1514a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
16 simpr2 1061 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
17 elsni 4142 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
1918oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ))
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
22 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2320, 21, 22, 9lmodvs0 18720 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
24233ad2antr1 1219 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
2519, 24eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = 0 )
26 simpr3 1062 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
27 elsni 4142 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
2925, 28oveq12d 6567 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ( 0 (+g𝑊) 0 ))
30 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
318, 30, 9lmod0vlid 18716 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3210, 31mpdan 699 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3332adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3429, 33eqtrd 2644 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
35 ovex 6577 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
3635elsn 4140 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
3734, 36sylibr 223 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
381, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 15, 37islssd 18757 1 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754 This theorem is referenced by:  lspsn0  18829  lsp0  18830  lmhmkerlss  18872  lidl0  19040  lsatcv0  33336  lsatcveq0  33337  lsat0cv  33338  lsatcv0eq  33352  dochsat  35690  mapd0  35972  mapdcnvatN  35973  mapdat  35974  mapdn0  35976  hdmapeq0  36154
 Copyright terms: Public domain W3C validator