Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsspropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsspropd 18838
 Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lsspropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lsspropd.w (𝜑𝐵𝑊)
lsspropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lsspropd.s1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lsspropd.s2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
lsspropd.p1 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
lsspropd.p2 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
Assertion
Ref Expression
lsspropd (𝜑 → (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lsspropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝜑)
2 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑧𝑃)
3 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑠𝐵)
4 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑎𝑠)
53, 4sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑎𝐵)
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
76ralrimivva 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
87ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
9 ovrspc2v 6571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑃𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊)
102, 5, 8, 9syl21anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊)
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝑊)
1211ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝐵𝑊)
13 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝑠)
143, 13sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝐵)
1512, 14sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝑊)
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1716oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊𝑏𝑊)) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
181, 10, 15, 17syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
2019oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑎𝐵)) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) = (𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎))
211, 2, 5, 20syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) = (𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎))
2221oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
2318, 22eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
2423eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2524anassrs 678 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠)) → (((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
26252ralbidva 2971 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑧𝑃) → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2726ralbidva 2968 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐵) → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2827anbi2d 736 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
2928pm5.32da 671 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))))
30 3anass 1035 . . . . 5 ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)))
31 3anass 1035 . . . . 5 ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
3229, 30, 313bitr4g 302 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
33 lsspropd.b1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
3433sseq2d 3596 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
35 lsspropd.p1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
3635raleqdv 3121 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠))
3734, 363anbi13d 1393 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)))
38 lsspropd.b2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3938sseq2d 3596 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
40 lsspropd.p2 . . . . . 6 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
4140raleqdv 3121 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
4239, 413anbi13d 1393 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
4332, 37, 423bitr3d 297 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
44 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
45 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘𝐾))
46 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
47 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐾) = (+g𝐾)
48 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝐾) = ( ·𝑠𝐾)
49 eqid 2610 . . . 4 (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐾)
5044, 45, 46, 47, 48, 49islss 18756 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐾) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠))
51 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
52 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘𝐿))
53 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
54 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
55 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
56 eqid 2610 . . . 4 (LSubSp‘𝐿) = (LSubSp‘𝐿)
5751, 52, 53, 54, 55, 56islss 18756 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐿) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
5843, 50, 573bitr4g 302 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐿)))
5958eqrdv 2608 1 (𝜑 → (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LSubSpclss 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lss 18754 This theorem is referenced by:  lsppropd  18839  lidlrsppropd  19051  ply1lss  19387
 Copyright terms: Public domain W3C validator