Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssbn 22956
 Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssbn ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn
StepHypRef Expression
1 bnnvc 22945 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2 lssbn.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 lssbn.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssnvc 22316 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
51, 4sylan 487 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
72, 6resssca 15854 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
87adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
96bnsca 22944 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
109adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
118, 10eqeltrrd 2689 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
1312isbn 22943 . . . . 5 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14 3anan32 1043 . . . . 5 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1513, 14bitri 263 . . . 4 (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1615baib 942 . . 3 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
175, 11, 16syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18 bncms 22949 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssss 18758 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21 lssbn.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
222, 19, 21cmsss 22955 . . 3 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2318, 20, 22syl2an 493 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2417, 23bitrd 267 1 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Scalarcsca 15771  TopOpenctopn 15905  LSubSpclss 18753  Clsdccld 20630  NrmVeccnvc 22196  CMetSpccms 22937  Bancbn 22938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lvec 18924  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-haus 20929  df-fil 21460  df-flim 21553  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-nvc 22202  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940  df-bn 22941 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator