Theorem lssats2 18821

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssats2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lssats2.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 18759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	4, 7	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 9	lspsnid 18814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
11	3, 8, 10	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12		sneq 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
13	12	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
14	13	eleq2d 2673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
15	14	rspcev 3282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
16	1, 11, 15	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
17	16	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
18	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
19	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
20		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
21	6, 9, 18, 19, 20	lspsnel5a 18817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
22	21	sseld 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
23	22	rexlimdva 3013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
24	17, 23	impbid 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25		eliun 4460	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
26	24, 25	syl6bbr 277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
27	26	eqrdv 2608	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {csn 4125  ∪ ciun 4455  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by: (None)