Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats2 18821
 Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssats2 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
2 lssats2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lssats2.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
5 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 18759 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
84, 7sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 9lspsnid 18814 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
113, 8, 10syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12 sneq 4135 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1312fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
1413eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
1514rspcev 3282 . . . . . 6 ((𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
161, 11, 15syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
1716ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑈 → ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
194adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 18817 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
2221sseld 3567 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2322rexlimdva 3013 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦𝑈))
2417, 23impbid 201 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
25 eliun 4460 . . 3 (𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
2624, 25syl6bbr 277 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑈𝑦 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
2726eqrdv 2608 1 (𝜑𝑈 = 𝑥𝑈 (𝑁‘{𝑥}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {csn 4125  ∪ ciun 4455  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator