MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 18832
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o 0 = (0g𝑊)
lspun0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4lmod0vcl 18715 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑉)
76snssd 4281 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
93, 8lspun 18808 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
114, 8lspsn0 18829 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 3729 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }))
14 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
153, 14, 8lspcl 18797 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161, 2, 15syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
174, 14lss0ss 18770 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
181, 16, 17syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
19 ssequn2 3748 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2018, 19sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2113, 20eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁𝑋))
2221fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁𝑋)))
233, 8lspidm 18807 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
241, 2, 23syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
2522, 24eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁𝑋))
2610, 25eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cun 3538  wss 3540  {csn 4125  cfv 5804  Basecbs 15695  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  35754
  Copyright terms: Public domain W3C validator