Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2r 17921
 Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisjr.i (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2r (𝜑 → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
2 lsmcntz.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
31, 2oppglsm 17880 . . . 4 (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆) = (𝑆 𝑈)
43ineq2i 3773 . . 3 (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈))
5 incom 3767 . . 3 (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
64, 5eqtri 2632 . 2 (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
7 eqid 2610 . . 3 (LSSum‘(oppg𝐺)) = (LSSum‘(oppg𝐺))
8 lsmcntz.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
91oppgsubg 17616 . . . 4 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg𝐺))
108, 9syl6eleq 2698 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
11 lsmcntz.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1211, 9syl6eleq 2698 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
13 lsmcntz.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1413, 9syl6eleq 2698 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
15 lsmdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
161, 15oppgid 17609 . . 3 0 = (0g‘(oppg𝐺))
171, 2oppglsm 17880 . . . . . 6 (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) = (𝑇 𝑈)
1817ineq1i 3772 . . . . 5 ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
19 incom 3767 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈))
2018, 19eqtri 2632 . . . 4 ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈))
21 lsmdisjr.i . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
2220, 21syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23 incom 3767 . . . 4 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
24 lsmdisj2r.i . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
2523, 24syl5eqr 2658 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
267, 10, 12, 14, 16, 22, 25lsmdisj2 17918 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = { 0 })
276, 26syl5eqr 2658 1 (𝜑 → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  oppgcoppg 17598  LSSumclsm 17872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-oppg 17599  df-lsm 17874 This theorem is referenced by:  lsmdisj3r  17922  lsmdisj2b  17924
 Copyright terms: Public domain W3C validator