Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem3 33417
 Description: Lemma for lshpkrex 33423. Defining property of 𝐺‘𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem3 (𝜑 → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkrlem.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
3 lshpkrlem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkrlem.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkrlem.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lshpkrlem.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐻)
8 lshpkrlem.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
9 lshpkrlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 lshpkrlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 lshpkrlem.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lshpsmreu 33414 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15 riotasbc 6526 . . . 4 (∃!𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑[(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17 eqeq1 2614 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
1817rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
1918riotabidv 6513 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
2221oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
2423rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
2625eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
2726cbvrexv 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
2824, 27syl6bb 275 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
2928cbvriotav 6522 . . . . . . 7 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
3029mpteq2i 4669 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
3120, 30eqtri 2632 . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32 riotaex 6515 . . . . 5 (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
3319, 31, 32fvmpt 6191 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34 dfsbcq 3404 . . . 4 ((𝐺𝑋) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
359, 33, 343syl 18 . . 3 (𝜑 → ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
3616, 35mpbird 246 . 2 (𝜑[(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37 fvex 6113 . . 3 (𝐺𝑋) ∈ V
38 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺𝑋) · 𝑍))
3938oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
4039eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍))))
4140rexbidv 3034 . . 3 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍))))
4237, 41sbcie 3437 . 2 ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
4336, 42sylib 207 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  [wsbc 3402  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282 This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  33420
 Copyright terms: Public domain W3C validator