Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem1 33415
 Description: Lemma for lshpkrex 33423. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18927 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54lmodfgrp 18695 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
86, 7grpidcl 17273 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp → 0𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (𝜑0𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lshpkrlem.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 33414 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
2221oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2423rexbidv 3034 . . . 4 (𝑘 = 0 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2524riota2 6533 . . 3 (( 0𝐾 ∧ ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
28 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2621 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3282 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3231ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑈 → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2683 . . . . . 6 (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈)))
3534rexlimdv 3012 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3632, 35impbid 201 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 18719 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
393, 16, 38syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4140oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g𝑊)))
421adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4544, 14, 3, 15lshplss 33286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4610, 44lssel 18759 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4745, 46sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 18717 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2620 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 212 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = 𝑏𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5352rexbidva 3031 . . 3 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5436, 53bitrd 267 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5655rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5756riotabidv 6513 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59 riotaex 6515 . . . . . 6 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6261eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6362cbvrexv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐾 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6564riotabiia 6528 . . . . 5 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6660, 65syl6eq 2660 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6867eqeq1d 2612 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 0 ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 299 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282 This theorem is referenced by:  lshpkr  33422
 Copyright terms: Public domain W3C validator