Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp 33308
 Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 28590 analog.) TODO: can lspsncmp 18937 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 18927 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2610 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
95, 6, 7, 8islsat 33296 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
111, 10mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 33304 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
1514ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
162ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 33302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1918ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20 simplrl 796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 18966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2423ord 391 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2524necon1ad 2799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2726ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28 eqimss 3620 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2927, 28impbid1 214 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3029ex 449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3112, 30syl5bi 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32 sseq2 3590 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33 eqeq2 2621 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3432, 33bibi12d 334 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3534biimprcd 239 . . . 4 ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3631, 35syl6 34 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))))
3736rexlimdv 3012 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3811, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281 This theorem is referenced by:  lsatcmp2  33309  lsatel  33310  lsatnem0  33350  dvh2dimatN  35747
 Copyright terms: Public domain W3C validator