Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnosub 26998
 Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
lnosub.6 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
lnosub.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11001 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2610 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
5 eqid 2610 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
6 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 26993 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
101, 9mp3anr1 1413 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
1110ancom2s 840 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
132, 4, 6, 12nvmval2 26882 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
14133expb 1258 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
15143ad2antl1 1216 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
1615fveq2d 6107 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)))
17 simpl2 1058 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 26994 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19 simpl 472 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
20 ffvelrn 6265 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2118, 19, 20syl2an 493 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22 simpr 476 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
23 ffvelrn 6265 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2418, 22, 23syl2an 493 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
263, 5, 7, 25nvmval2 26882 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1318 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2811, 16, 273eqtr4d 2654 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816  -cneg 10146  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826   −𝑣 cnsb 26828   LnOp clno 26979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-lno 26983 This theorem is referenced by:  blometi  27042  blocnilem  27043  ubthlem2  27111
 Copyright terms: Public domain W3C validator