HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopaddi 28214
Description: Additive property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopaddi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnopaddi
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9873 . . 3 1 ∈ ℂ
2 lnopl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
32lnopli 28211 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
41, 3mp3an1 1403 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
5 ax-hvmulid 27247 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65oveq1d 6564 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 · 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
76fveq2d 6107 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
87adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
92lnopfi 28212 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
109ffvelrni 6266 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
11 ax-hvmulid 27247 . . . . 5 ((𝑇𝐴) ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1312adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1413oveq1d 6564 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
154, 8, 143eqtr3d 2652 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816  chil 27160   + cva 27161   · csm 27162  LinOpclo 27188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873  ax-hilex 27240  ax-hvmulid 27247
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-lnop 28084
This theorem is referenced by:  lnopaddmuli  28216  lnophsi  28244  lnopeq0lem1  28248  lnophmlem2  28260  imaelshi  28301  cnlnadjlem2  28311
  Copyright terms: Public domain W3C validator