Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlmic 36676
 Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 18889 . . 3 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3890 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
31, 2bitri 263 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 lmimlmhm 18885 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
6 simpr 476 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
7 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
97, 8lmimf1o 18884 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
10 f1ofo 6057 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
11 forn 6031 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
148lnmepi 36673 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
155, 6, 13, 14syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
16 islmim2 18887 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
1716simprbi 479 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
19 simpr 476 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
20 dfdm4 5238 . . . . . 6 dom 𝑎 = ran 𝑎
21 f1odm 6054 . . . . . . . 8 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2420, 23syl5eqr 2658 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑅))
257lnmepi 36673 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2618, 19, 24, 25syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2715, 26impbida 873 . . 3 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
2827exlimiv 1845 . 2 (∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
293, 28sylbi 206 1 (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   LMHom clmhm 18840   LMIso clmim 18841   ≃𝑚 clmic 18842  LNoeMclnm 36663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lmim 18844  df-lmic 18845  df-lfig 36656  df-lnm 36664 This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  36681
 Copyright terms: Public domain W3C validator