Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlimxrge0 29322
 Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlimxrge0.x 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0topn 29317 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2eqtri 2632 . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4 letopon 20819 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5 iccssxr 12127 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 resttopon 20775 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
74, 5, 6mp2an 704 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
83, 7eqeltri 2684 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9 lmlimxrge0.f . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
10 lmlimxrge0.p . 2 (𝜑𝑃𝑋)
11 fvex 6113 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13 icossicc 12131 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
1412, 13sstri 3577 . . . 4 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15 ovex 6577 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
16 restabs 20779 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
1711, 14, 15, 16mp3an 1416 . . 3 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
183oveq1i 6559 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19 rge0ssre 12151 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2012, 19sstri 3577 . . . 4 𝑋 ⊆ ℝ
21 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 eqid 2610 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2321, 22xrrest2 22419 . . . 4 (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
2420, 23ax-mp 5 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
2517, 18, 243eqtr4i 2642 . 2 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26 ax-resscn 9872 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2720, 26sstri 3577 . 2 𝑋 ⊆ ℂ
288, 9, 10, 25, 27lmlim 29321 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   ⇝ cli 14063   ↾s cress 15696   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ordTopcordt 15982  ℝ*𝑠cxrs 15983  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518  ⇝𝑡clm 20840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-lm 20843  df-xms 21935  df-ms 21936 This theorem is referenced by:  esumcvg  29475  dstfrvclim1  29866
 Copyright terms: Public domain W3C validator