MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 22907
Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmle.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmle.8 (𝜑𝑄𝑋)
lmle.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmle.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 22054 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 lmle.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 lmrel 20844 . . . . 5 Rel (⇝𝑡𝐽)
8 lmle.7 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
9 releldm 5279 . . . . 5 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
107, 8, 9sylancr 694 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
111, 5, 6, 10lmff 20915 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
12 eqid 2610 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
135adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗𝑍)
1514, 1syl6eleq 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzelz 11573 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
188adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
19 fvres 6117 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2019adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
21 simprr 792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
2221ffvelrnda 6267 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
2320, 22eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
241uztrn2 11581 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2514, 24sylan 487 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
26 lmle.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
2726adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
2825, 27syldan 486 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
29 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹𝑘)))
3029breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅))
3130elrab 3331 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅))
3223, 28, 31sylanbrc 695 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
33 lmle.8 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑋)
34 lmle.9 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
35 eqid 2610 . . . . . . 7 {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
363, 35blcld 22120 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
372, 33, 34, 36syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3837adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3912, 13, 17, 18, 32, 38lmcld 20917 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
4011, 39rexlimddv 3017 . 2 (𝜑𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
41 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
4241breq1d 4593 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4342elrab 3331 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4443simprbi 479 . 2 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
4540, 44syl 17 1 (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cres 5040  Rel wrel 5043  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  *cxr 9952  cle 9954  cz 11254  cuz 11563  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630  𝑡clm 20840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-lm 20843
This theorem is referenced by:  nglmle  22908  minvecolem4  27120
  Copyright terms: Public domain W3C validator