Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicom 25480
 Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
islmib.b (𝜑𝐵𝑃)
lmicom.1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmicom (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmicl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
7 islmib.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7midcom 25474 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
9 lmicom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
109eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
11 lmif.m . . . . . . 7 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
12 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
13 lmif.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7islmib 25479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))))
1510, 14mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
1615simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷)
178, 16eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷)
1815simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918orcomd 402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
2019ord 391 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
214adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
237adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
24 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
2524neqned 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
261, 3, 12, 21, 22, 23, 25tglinecom 25330 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
2726breq2d 4595 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
2827pm5.74da 719 . . . . . . 7 (𝜑 → ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))))
2920, 28mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3029orrd 392 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3130orcomd 402 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32 eqcom 2617 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
3332orbi2i 540 . . . 4 ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
3431, 33sylib 207 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
351, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6islmib 25479 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐵) ↔ ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))))
3617, 34, 35mpbir2and 959 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑀𝐵))
3736eqcomd 2616 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  ⟂Gcperpg 25390  midGcmid 25464  lInvGclmi 25465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-mid 25466  df-lmi 25467 This theorem is referenced by:  lmilmi  25481
 Copyright terms: Public domain W3C validator