Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcvg 20876
 Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmcvg.3 (𝜑𝑃𝑈)
lmcvg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcvg.6 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
lmcvg (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.6 . 2 (𝜑𝑈𝐽)
2 lmcvg.5 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
3 lmrcl 20845 . . . . . . . 8 (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐽 ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2610 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
65toptopon 20548 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
74, 6sylib 207 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
8 lmcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 lmcvg.4 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
107, 8, 9lmbr2 20873 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
112, 10mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1211simp3d 1068 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
13 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1413ralimi 2936 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1514reximi 2994 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1615imim2i 16 . . . 4 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
1716ralimi 2936 . . 3 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
1812, 17syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
19 lmcvg.3 . 2 (𝜑𝑃𝑈)
20 eleq2 2677 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (𝑃𝑢𝑃𝑈))
21 eleq2 2677 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
2221rexralbidv 3040 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
2320, 22imbi12d 333 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)))
2423rspcv 3278 . 2 (𝑈𝐽 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)))
251, 18, 19, 24syl3c 64 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  ⇝𝑡clm 20840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-top 20521  df-topon 20523  df-lm 20843 This theorem is referenced by:  lmmo  20994  1stccnp  21075  1stckgenlem  21166  iscmet3lem2  22898
 Copyright terms: Public domain W3C validator