MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcld 20917
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmff.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcls.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
lmcld (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmff.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 lmff.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lmcls.5 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
5 lmcls.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
6 lmcld.8 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2610 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
87cldss 20643 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 𝐽)
10 toponuni 20542 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
129, 11sseqtr4d 3605 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 20916 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14 cldcls 20656 . . 3 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
156, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1613, 15eleqtrd 2690 1 (𝜑𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   cuni 4372   class class class wbr 4583  cfv 5804  cz 11254  cuz 11563  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630  clsccl 20632  𝑡clm 20840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-lm 20843
This theorem is referenced by:  1stckgen  21167  lmle  22907
  Copyright terms: Public domain W3C validator