Theorem lmatfval 29208

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 29207	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖 − 1) = (𝐼 − 1))
8	7	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
9		simprr 792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
10	9	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
11	8, 10	fveq12d 6109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
12		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
13		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
14	13	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(#‘𝑊)) = (1...𝑁))
15	12, 14	eleqtrrd 2691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(#‘𝑊)))
16		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
17		1m1e0 10966	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
18		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnuz 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
21		eluzfz1 12219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
23		fz1fzo0m1 12383	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
25	17, 24	syl5eqelr 2693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
26		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
27	26	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
28	26	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
29	28	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = (#‘(𝑊‘0)))
30	29	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
31	27, 30	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
32		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
33	32	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
34	25, 31, 33	vtocld 3230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
35	25, 34	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
36	35	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(#‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
37	16, 36	eleqtrrd 2691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))))
38		fz1fzo0m1 12383	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
39	12, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
40	13	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
41	39, 40	eleqtrrd 2691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 13173	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
43	2, 41, 42	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
44		fz1fzo0m1 12383	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
45	16, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
46		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
47	46	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
48	46	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
49	48	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))
50	49	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
51	47, 50	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
52	39, 51, 33	vtocld 3230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
53	39, 52	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	45, 54	eleqtrrd 2691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
56		wrdsymbcl 13173	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
57	43, 55, 56	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
58	5, 11, 15, 37, 57	ovmpt2d 6686	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  litMatclmat 29205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lmat 29206

This theorem is referenced by:  lmatfvlem  29209  lmat22e11  29212