Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 29216
 Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
lmat22det.t · = (.r𝑅)
lmat22det.s = (-g𝑅)
lmat22det.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3 2nn 11062 . . . . 5 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 lmat22.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
75, 6s2cld 13466 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
108, 9s2cld 13466 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 13466 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 13484 . . . . 5 (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 29211 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (#‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2610 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2610 . . . 4 (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 29210 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 11286 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzval3 12404 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 11028 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 6560 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 12419 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2636 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 = (-g𝑅)
28 lmat22det.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 20256 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 29212 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 29215 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 29214 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 29213 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
3634, 35oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
3733, 36oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
3830, 37eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs2 13437  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  -gcsg 17247  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032   maDet cmdat 20209  litMatclmat 29205 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-mdet 20210  df-lmat 29206 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator