Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlspeqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlspeqN 33476
 Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlspeq.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o 0 = (0g𝐷)
lkrlspeq.j 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h (𝜑𝐻𝐹)
lkrlspeq.g (𝜑𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lkrlspeqN (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrlspeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
21eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3 lkrlspeq.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 lkrlspeq.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 18927 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
73, 6lduallmod 33458 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
8 lkrlspeq.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10 lkrlspeq.h . . . . . 6 (𝜑𝐻𝐹)
118, 3, 9, 4, 10ldualelvbase 33432 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12 eqid 2610 . . . . . 6 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
15 lkrlspeq.j . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
1612, 13, 9, 14, 15lspsnel 18824 . . . . 5 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
177, 11, 16syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
182, 17mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
19 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2119, 20, 3, 12, 13, 4ldualsbase 33438 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221rexeqdv 3122 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
2318, 22mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
24 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25 lkrlspeq.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑊)
2643ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
27 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
29 eldifsni 4261 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺0 )
301, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺0 )
31303ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐺0 )
3228, 31eqnetrrd 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ≠ 0 )
33 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
3419, 24, 3, 12, 33, 6ldual0 33452 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35343ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3635eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
37 orc 399 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
3836, 37syl6bir 243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39 lkrlspeq.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐷)
403, 4lduallvec 33459 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ LVec)
41403ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
42213ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4327, 42eleqtrrd 2691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
44113ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
459, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44lvecvs0or 18929 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
4638, 45sylibrd 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) = 0 ))
4746necon3d 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ≠ 0𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4832, 47mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5027, 48, 49sylanbrc 695 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
51103ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐻𝐹)
5219, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28lkreqN 33475 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
5352rexlimdv3a 3015 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)))
5423, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  35929
 Copyright terms: Public domain W3C validator