Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsmm 19986
 Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 524 . . . 4 (𝐹𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6086 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
4 f1of 6050 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
6 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
7 fss 5969 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
85, 6, 7sylancr 694 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
119, 10lindfmm 19985 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1363 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 269 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 18854 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 19967 . . 3 (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 18853 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22 f1ores 6064 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹))
23 f1of1 6049 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
25243adant1 1072 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2625adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
27 f1linds 19983 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5051 . . . . 5 (𝐺𝐹) = ran (𝐺𝐹)
30 lindfrn 19979 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3119, 30sylan 487 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3229, 31syl5eqel 2692 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3328, 32impbida 873 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 5570 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺𝐹)
3534breq1i 4590 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35syl6bbr 277 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 299 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LModclmod 18686   LMHom clmhm 18840   LIndF clindf 19962  LIndSclinds 19963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lindf 19964  df-linds 19965 This theorem is referenced by:  lindsmm2  19987
 Copyright terms: Public domain W3C validator