Theorem lindsmm 19986

Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lindsmm	⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 524	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
2	1	3ad2ant3 1077	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3		f1oi 6086	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4		f1of 6050	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
6		simp3 1056	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		fss 5969	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
8	5, 6, 7	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
9		lindfmm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		lindfmm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lindfmm 19985	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
12	8, 11	syld3an3 1363	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
13	2, 12	bitr3d 269	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14		lmhmlmod1 18854	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
16	9	islinds 19967	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18		lmhmlmod2 18853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19	18	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22		f1ores 6064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹))
23		f1of1 6049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
25	24	3adant1 1072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
27		f1linds 19983	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
28	20, 21, 26, 27	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
29		df-ima 5051	. . . . 5 ⊢ (𝐺 “ 𝐹) = ran (𝐺 ↾ 𝐹)
30		lindfrn 19979	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
31	19, 30	sylan 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
32	29, 31	syl5eqel 2692	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
33	28, 32	impbida 873	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇))
34		coires1 5570	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺 ↾ 𝐹)
35	34	breq1i 4590	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
36	33, 35	syl6bbr 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
37	13, 17, 36	3bitr4d 299	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LModclmod 18686   LMHom clmhm 18840   LIndF clindf 19962  LIndSclinds 19963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lindf 19964  df-linds 19965

This theorem is referenced by:  lindsmm2  19987