Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | difexg 4735 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V) |
3 | 2 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V) |
4 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V) |
5 | | lincresunit.g |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) |
6 | | mptexg 6389 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) ∈ V) |
7 | 5, 6 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V) |
8 | 4, 7 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V) |
9 | 5 | funmpt2 5841 |
. . . . . . . 8
⊢ Fun 𝐺 |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺) |
11 | | lincresunit.0 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 =
(0g‘𝑅) |
12 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0g‘𝑅) ∈ V |
13 | 11, 12 | eqeltri 2684 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
V |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈
V) |
15 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 ) |
16 | 15 | fsuppimpd 8165 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈
Fin) |
17 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) |
18 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) |
19 | | eldifi 3694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠 ∈ 𝑆) |
20 | 19 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠 ∈ 𝑆) |
21 | | lincresunit.b |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀) |
22 | | lincresunit.r |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀) |
23 | | lincresunit.e |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅) |
24 | | lincresunit.u |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅) |
25 | | lincresunit.z |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀) |
26 | | lincresunit.n |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅) |
27 | | lincresunit.i |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅) |
28 | | lincresunit.t |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ · =
(.r‘𝑅) |
29 | 21, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5 | lincresunitlem2 42059 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸) |
30 | 17, 18, 20, 29 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸) |
31 | 30 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸) |
32 | 5 | fnmpt 5933 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑠 ∈
(𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸 → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋})) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋})) |
34 | | elmapfn 7766 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆) |
35 | 34 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆) |
36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆) |
37 | 33, 36 | jca 553 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆)) |
38 | | difssd 3700 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆) |
39 | | simpr1 1060 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) |
40 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ V) |
41 | 38, 39, 40 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈
V)) |
42 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))) |
43 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑥)) |
44 | 43 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥))) |
45 | 44 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐹 ∈
(𝐸
↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥))) |
46 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) |
47 | | simpllr 795 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) |
48 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) |
49 | 48 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) |
50 | | eldifi 3694 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
51 | 50 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
52 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
53 | 21, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5 | lincresunitlem2 42059 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸) |
54 | 47, 49, 52, 53 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸) |
55 | 42, 45, 46, 54 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥))) |
56 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 )) |
57 | 22 | lmodring 18694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring) |
58 | 57 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) |
59 | 58 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring) |
60 | 21, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5 | lincresunitlem1 42058 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) |
61 | 60 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) |
62 | 23, 28, 11 | ringrz 18411 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 ) |
63 | 59, 61, 62 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 ) |
64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 ) |
65 | 56, 64 | sylan9eqr 2666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = 0 ) |
66 | 55, 65 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚
𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = 0 ) |
67 | 66 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) |
68 | 67 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) |
69 | | suppfnss 7207 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) →
(∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) |
70 | 69 | imp 444 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) ∧
∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
71 | 37, 41, 68, 70 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
72 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
73 | | suppssfifsupp 8173 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 ) |
74 | 8, 10, 14, 16, 72, 73 | syl32anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 ) |
75 | 74 | ex 449 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 )) |
76 | 75 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 ))) |
77 | 76 | com23 84 |
. . 3
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))) |
78 | 77 | 3impia 1253 |
. 2
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )) |
79 | 78 | impcom 445 |
1
⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 ) |