Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincfsuppcl 41996
Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2632 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 6559 . . . . . . 7 (𝑆𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
76eleq2i 2680 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
87biimpi 205 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
1093ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
11 elpwg 4116 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑀)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊𝐵 = (Base‘𝑀))
1413eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
1514sseq2d 3596 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉𝐵))
1611, 15bitr2d 268 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
1716biimpa 500 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 41992 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1318 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 eqid 2610 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
22 lmodcmn 18734 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 472 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉𝑊)
25243ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉𝑊)
261adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 7765 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
28 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉𝑆𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
2928ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3332imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
34 ssel 3562 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
38 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝑆𝑣𝐵) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
41 eqid 2610 . . . 4 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
4240, 41fmptd 6292 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
43 simpl 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
44433ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
45 simp3r 1083 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
46 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4745, 46syl6breq 4624 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
483, 2scmfsupp 41953 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
491, 18, 44, 47, 48syl211anc 1324 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5012, 21, 23, 25, 42, 49gsumcl 18139 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5120, 50eqeltrd 2688 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  LModclmod 18686   linC clinc 41987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-linc 41989
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  42044
  Copyright terms: Public domain W3C validator