Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincellss 42009
 Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simprl 790 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
3 ssexg 4732 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑆𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝑉 ∈ V)
43ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 ∈ V)
5 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
75, 6lssss 18758 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
8 sstr 3576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
9 elpwg 4116 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
108, 9syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
1110expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
1312imp 444 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
144, 13mpd 15 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15143adant1 1072 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17 lincval 41992 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
181, 2, 16, 17syl3anc 1318 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
19 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
20 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
216, 19, 20gsumlsscl 41958 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆))
2221imp 444 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆)
2318, 22eqeltrd 2688 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
2423ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753   linC clinc 41987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-linc 41989 This theorem is referenced by:  ellcoellss  42018
 Copyright terms: Public domain W3C validator