Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupcl 14052
 Description: Closure of the superior limit. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
limsupcl (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3185 . 2 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
2 df-limsup 14050 . . . 4 lim sup = (𝑓 ∈ V ↦ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4 inss2 3796 . . . . . . . 8 ((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5 supxrcl 12017 . . . . . . . 8 (((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
73, 6fmpti 6291 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
8 frn 5966 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ* → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
10 infxrcl 12035 . . . . 5 (ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝑓 ∈ V → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 11fmpti 6291 . . 3 lim sup:V⟶ℝ*
1312ffvelrni 6266 . 2 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
141, 13syl 17 1 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  infcinf 8230  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  [,)cico 12048  lim supclsp 14049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-limsup 14050 This theorem is referenced by:  limsuplt  14058  limsupbnd1  14061  caucvgrlem  14251  limsupre  38708
 Copyright terms: Public domain W3C validator