Theorem limcmo 23452

Description: If 𝐵 is a limit point of the domain of the function 𝐹, then there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem limcmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 22398	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Haus
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
4		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		limcflf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		limcflf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) = (𝐴 ∖ {𝐵})
8		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵}))
9	4, 5, 6, 1, 7, 8	limcflflem 23450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
10		difss 3699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
11		fssres 5983	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
12	4, 10, 11	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
13	1	cnfldtopon 22396	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
14	13	toponunii 20547	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
15	14	hausflf 21611	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
16	3, 9, 12, 15	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
17	4, 5, 6, 1, 7, 8	limcflf 23451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
18	17	eleq2d 2673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
19	18	mobidv 2479	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
20	16, 19	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567  neicnei 20711  limPtclp 20748  Hauscha 20922  Filcfil 21459   fLimf cflf 21549   lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436

This theorem is referenced by:  perfdvf  23473  ellimciota  38681