Theorem limcdif 23446

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdif	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcdif

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		fdm 5964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		limcrcl 23444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
8	4, 7	eqsstr3d 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9	6	simp3d 1068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
11	10	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
12		undif1 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
13		difss 3699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
14		fssres 5983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
15	1, 13, 14	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
16		fdm 5964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
19		limcrcl 23444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21	20	simp2d 1067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
22	18, 21	eqsstr3d 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
23	20	simp3d 1068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	snssd 4281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
25	22, 24	unssd 3751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
26	12, 25	syl5eqssr 3613	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
27	26	unssad 3752	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
28	27, 23	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
29	28	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
30		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
31		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
33	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
35		simprr 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	ellimc 23443	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
37	12	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
38	37	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
39		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))
40	37, 39	mpteq12i 4670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
41		elun 3715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
42		velsn 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
43	42	orbi2i 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
44		pm5.61 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
45		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	44, 46	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
48	47	ifeq2da 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
49	43, 48	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
50	41, 49	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
51	50	mpteq2ia 4668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
52	40, 51	eqtr4i 2635	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
53	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
54	34	ssdifssd 3710	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
55	38, 31, 52, 53, 54, 35	ellimc 23443	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
56	36, 55	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
57	56	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))))
58	11, 29, 57	pm5.21ndd 368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
59	58	eqrdv 2608	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567   CnP ccnp 20839   lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436

This theorem is referenced by:  dvcnp2  23489  dvmulbr  23508  dvrec  23524  fourierdlem62  39061