Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrsppropd 19051
 Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3 (𝜑𝐵𝑊)
lidlpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lidlpropd.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 rlmbas 19016 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
31, 2syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4 lidlpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
5 rlmbas 19016 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
64, 5syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7 lidlpropd.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 lidlpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 rlmplusg 19017 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
109oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11 rlmplusg 19017 . . . . . 6 (+g𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
1211oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
138, 10, 123eqtr3g 2667 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14 rlmvsca 19023 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
1514oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16 lidlpropd.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
1715, 16syl5eqelr 2693 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18 lidlpropd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
19 rlmvsca 19023 . . . . . 6 (.r𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
2019oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
2118, 15, 203eqtr3g 2667 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22 baseid 15747 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
23 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2422, 23strfvi 15741 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25 rlmsca2 19022 . . . . . . 7 ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
2625fveq2i 6106 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
2724, 26eqtri 2632 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
281, 27syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
3022, 29strfvi 15741 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31 rlmsca2 19022 . . . . . . 7 ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
3231fveq2i 6106 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
3330, 32eqtri 2632 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
344, 33syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 18838 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36 lidlval 19013 . . 3 (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37 lidlval 19013 . . 3 (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
3835, 36, 373eqtr4g 2669 . 2 (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39 fvex 6113 . . . . 5 (ringLMod‘𝐾) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
41 fvex 6113 . . . . 5 (ringLMod‘𝐿) ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
433, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 40, 42lsppropd 18839 . . 3 (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
44 rspval 19014 . . 3 (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
45 rspval 19014 . . 3 (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
4643, 44, 453eqtr4g 2669 . 2 (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
4738, 46jca 553 1 (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   I cid 4948  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  ringLModcrglmod 18990  LIdealclidl 18991  RSpancrsp 18992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996 This theorem is referenced by:  crngridl  19059
 Copyright terms: Public domain W3C validator