MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlnz 19049
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlnz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlnz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
31, 2lidl0cl 19033 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
43snssd 4281 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
543adant3 1074 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
76necomd 2837 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8 df-pss 3556 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
95, 7, 8sylanbrc 695 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10 pssnel 3991 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12 velsn 4141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
1312necon3bbii 2829 . . . . 5 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥0 )
1413anbi2i 726 . . . 4 ((𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥𝐼𝑥0 ))
1514exbii 1764 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
16 df-rex 2902 . . 3 (∃𝑥𝐼 𝑥0 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
1715, 16bitr4i 266 . 2 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
1811, 17sylib 207 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  wss 3540  wpss 3541  {csn 4125  cfv 5804  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995
This theorem is referenced by:  drngnidl  19050  zringlpirlem1  19651  lidldomn1  41711
  Copyright terms: Public domain W3C validator