MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidldvgen 19076
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldvgen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
32snssd 4281 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5 lidldvgen.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
64, 5rspssid 19044 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
71, 3, 6syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8 snssg 4268 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
983ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
107, 9mpbird 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 = (∥r𝑅)
125, 4, 11rspsn 19075 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
13123adant2 1073 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
1413eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦}))
15 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
16 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 𝑦𝐺 𝑥))
1715, 16elab 3319 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦} ↔ 𝐺 𝑥)
1814, 17syl6bb 275 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 𝑥))
1918biimpd 218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 𝑥))
2019ralrimiv 2948 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)
2110, 20jca 553 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
22 eleq2 2677 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23 raleq 3115 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
2422, 23anbi12d 743 . . 3 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)))
2521, 24syl5ibrcom 236 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
26 df-ral 2901 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
27 ssab 3635 . . . . . . . 8 (𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
2826, 27bitr4i 266 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
2928biimpi 205 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
3029ad2antll 761 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
315, 4, 11rspsn 19075 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
32313adant2 1073 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3332adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3430, 33sseqtr4d 3605 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
35 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
36 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝐼𝑈)
37 snssi 4280 . . . . . . 7 (𝐺𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
3837adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
39 lidldvgen.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
404, 39rspssp 19047 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4241adantrr 749 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4334, 42eqssd 3585 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
4443ex 449 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
4525, 44impbid 201 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wal 1473   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wral 2896  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  Ringcrg 18370  rcdsr 18461  LIdealclidl 18991  RSpancrsp 18992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-dvdsr 18464  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996
This theorem is referenced by:  lpigen  19077  ig1prsp  23741
  Copyright terms: Public domain W3C validator