Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr4N 34330
 Description: Specialization of lhpmcvr2 34328. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑌)

Proof of Theorem lhpmcvr4N
StepHypRef Expression
1 simp2rr 1124 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑊)
2 simp33 1092 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑃 𝑋)
3 simp1l 1078 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2rl 1123 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐴)
7 lhpmcvr2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lhpmcvr2.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
106, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐵)
11 simp2ll 1121 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
12 simp31 1090 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑌𝐵)
13 lhpmcvr2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
14 lhpmcvr2.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
157, 13, 14latlem12 16901 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
165, 10, 11, 12, 15syl13anc 1320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
1716biimpd 218 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) → 𝑃 (𝑋 𝑌)))
182, 17mpand 707 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → (𝑃 𝑌𝑃 (𝑋 𝑌)))
19 simp32 1091 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
207, 14latmcl 16875 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
215, 11, 12, 20syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
22 simp1r 1079 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑊𝐻)
23 lhpmcvr2.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
247, 23lhpbase 34302 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2522, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → 𝑊𝐵)
267, 13lattr 16879 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑃 (𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
275, 10, 21, 25, 26syl13anc 1320 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ((𝑃 (𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
2819, 27mpan2d 706 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → (𝑃 (𝑋 𝑌) → 𝑃 𝑊))
2918, 28syld 46 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → (𝑃 𝑌𝑃 𝑊))
301, 29mtod 188 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292 This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  34331  dihmeetlem17N  35630
 Copyright terms: Public domain W3C validator