Theorem lhpm0atN 34333

Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpm0at.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpm0atN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1062	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
2		simpl 472	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simpr1 1060	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1061	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
5		hllat 33668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7		lhpm0at.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lhpm0at.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	7, 8	lhpbase 34302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		lhpm0at.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	7, 11, 12	latleeqm1 16902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
14	6, 3, 10, 13	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
15	14	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
16		simplr3 1098	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
17	15, 16	eqtr3d 2646	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
18	17	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 → 𝑋 = 0 ))
19	18	necon3ad 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
20	4, 19	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
22	7, 11, 12, 21, 8	lhpmcvr 34327	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
23	2, 3, 20, 22	syl12anc 1316	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	1, 23	eqbrtrrd 4607	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25		simpll 786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26		lhpm0at.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
27		lhpm0at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
28	7, 26, 21, 27	isat2 33592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
29	25, 3, 28	syl2anc 691	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
30	24, 29	mpbird 246	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292

This theorem is referenced by: (None)