Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle2 34314
 Description: There exists atom under a co-atom different from any two other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem lhpexle2
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle1 34312 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
51, 2, 3lhpexle1 34312 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌))
65adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌))
71, 2, 3lhpexle2lem 34313 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
873expa 1257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
96, 8lhpexle1lem 34311 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
10 3ancomb 1040 . . . 4 ((𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
1110rexbii 3023 . . 3 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
129, 11sylib 207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
134, 12lhpexle1lem 34311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  lecple 15775  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292 This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  34315  lhpexle3  34316  cdlemj3  35129
 Copyright terms: Public domain W3C validator