Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpat3 34350
 Description: There is only one atom under both 𝑃 ∨ 𝑄 and co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpat.l = (le‘𝐾)
lhpat.j = (join‘𝐾)
lhpat.m = (meet‘𝐾)
lhpat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpat2.r 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpat3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))

Proof of Theorem lhpat3
StepHypRef Expression
1 simpl3r 1110 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
2 simpr 476 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑊)
3 simp1ll 1117 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33668 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2r 1081 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
7 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhpat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33594 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1rl 1119 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
12 simp2l 1080 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
13 lhpat.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
147, 13, 8hlatjcl 33671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
153, 11, 12, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp1lr 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
17 lhpat.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
187, 17lhpbase 34302 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20 lhpat.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
21 lhpat.m . . . . . . . . . 10 = (meet‘𝐾)
227, 20, 21latlem12 16901 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
235, 10, 15, 19, 22syl13anc 1320 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2423adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
251, 2, 24mpbi2and 958 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
26 lhpat2.r . . . . . 6 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2725, 26syl6breqr 4625 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑅)
283adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
29 hlatl 33665 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpl2r 1108 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆𝐴)
32 simpl1l 1105 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simpl1r 1106 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
34 simpl2l 1107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑄𝐴)
35 simpl3l 1109 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑃𝑄)
3620, 13, 21, 8, 17, 26lhpat2 34349 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑅𝐴)
3732, 33, 34, 35, 36syl112anc 1322 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑅𝐴)
3820, 8atcmp 33616 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
3930, 31, 37, 38syl3anc 1318 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
4027, 39mpbid 221 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
4140ex 449 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
427, 20, 21latmle2 16900 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
435, 15, 19, 42syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
4426, 43syl5eqbr 4618 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 𝑊)
45 breq1 4586 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 𝑊𝑅 𝑊))
4644, 45syl5ibrcom 236 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 = 𝑅𝑆 𝑊))
4741, 46impbid 201 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
4847necon3bbid 2819 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  LHypclh 34288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292 This theorem is referenced by:  4atexlemntlpq  34372  4atexlemnclw  34374
 Copyright terms: Public domain W3C validator