MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 20826
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17050 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 17047 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 20824 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 20825 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 20803 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 4835 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 11705 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 4774 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 12128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410elpw2 4755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*)
1513, 14mpbir 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1712, 16fmpti 6291 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
18 frn 5966 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
203, 19eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
21 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
22 icossxr 12129 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2310elpw2 4755 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*)
2422, 23mpbir 220 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2621, 25fmpti 6291 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
27 frn 5966 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
295, 28eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
3020, 29unssi 3750 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
3111, 30ssexi 4731 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
329, 31unex 6854 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
33 ssun2 3739 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
34 fiss 8213 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3532, 33, 34mp2an 704 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
36 fvex 6113 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
37 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
38 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3937, 38unipr 4385 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
40 iocssxr 12128 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
41 icossxr 12129 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4240, 41unssi 3750 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
43 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
44 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
45 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
46 mnflt0 11835 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
47 0lepnf 11842 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
48 df-icc 12053 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
49 df-ioc 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
50 xrltnle 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
51 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
52 xrlttr 11849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
53 xrltle 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
54533adant2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5552, 54syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 12062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5746, 47, 56mpanr12 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5843, 44, 45, 57mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
59 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
6059rexri 9976 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
61 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
62 df-ico 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
63 xrlelttr 11863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6462, 48, 63ixxss2 12065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6560, 61, 64mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
66 unss1 3744 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6858, 67eqsstr3i 3599 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
69 iccmax 12120 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
70 uncom 3719 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7168, 69, 703sstr3i 3606 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7242, 71eqssi 3584 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7339, 72eqtri 2632 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
74 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
75 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
76 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
77 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7877eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞) ↔ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)))
7978rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8044, 76, 79mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
81 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
8212, 81elrnmpti 5297 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8380, 82mpbir 220 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8483, 3eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8575, 84sselii 3565 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
86 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
87 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
88 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8988eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → ((-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)))
9089rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9160, 87, 90mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
92 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
9321, 92elrnmpti 5297 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9491, 93mpbir 220 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9594, 5eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9686, 95sselii 3565 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
97 prssi 4293 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9885, 96, 97mp2an 704 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
99 ssfii 8208 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
10198, 100sstri 3577 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
102 eltg3i 20576 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10374, 101, 102mp2an 704 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10473, 103eqeltrri 2685 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105 snssi 4280 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
107 bastg 20581 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
109100, 108sstri 3577 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
110106, 109unssi 3750 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
111 fiss 8213 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
11236, 110, 111mp2an 704 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
113 fibas 20592 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
114 tgcl 20584 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
115 fitop 20530 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
117112, 116sseqtri 3600 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
118 2basgen 20605 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11935, 117, 118mp2an 704 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1208, 119eqtr4i 2635 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   cuni 4372   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  ficfi 8199  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  (,]cioc 12047  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  topGenctg 15921  ordTopcordt 15982   TosetRel ctsr 17022  Topctop 20517  TopBasesctb 20520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-top 20521  df-bases 20522
This theorem is referenced by:  leordtval  20827  lecldbas  20833
  Copyright terms: Public domain W3C validator