Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12bd 10846
 Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lemul12bd.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12bd.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
lemul12bd.6 (𝜑𝐴𝐵)
lemul12bd.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lemul12bd (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12bd
StepHypRef Expression
1 lemul12bd.6 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 lemul12bd.7 . 2 (𝜑𝐶𝐷)
3 ltp1d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lemul12bd.4 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
53, 4jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 divgt0d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 lemul1ad.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
8 ltmul12ad.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
9 lemul12bd.5 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
108, 9jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
11 lemul12b 10759 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
125, 6, 7, 10, 11syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
131, 2, 12mp2and 711 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12858  fourierdlem77  39076
 Copyright terms: Public domain W3C validator