Theorem leat2 33599

Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leat2	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		leatom.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	leatb 33597	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
6		orcom 401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
7		neor 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
8	6, 7	bitri 263	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
9	5, 8	syl6bb 275	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
10	9	biimpd 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 → (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
11	10	com23 84	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑋 = 𝑃)))
12	11	imp32 448	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  0.cp0 16860  OPcops 33477  Atomscatm 33568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-glb 16798  df-p0 16862  df-oposet 33481  df-covers 33571  df-ats 33572

This theorem is referenced by:  dalemcea  33964  cdlemg12g  34955