Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2tri3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2tri3i 10046
 Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
le2tri3i ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2 lt.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
3 lt.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
41, 2, 3letri 10045 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 1letri3i 10032 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
65biimpri 217 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
74, 6sylan2 490 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
873impb 1252 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
92, 3, 1letri 10045 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
101, 2letri3i 10032 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
1110biimpri 217 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
129, 11sylan2 490 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ (𝐶𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐶)
13123impb 1252 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
14133comr 1265 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
153, 1, 2letri 10045 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
163, 2letri3i 10032 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴))
1716biimpri 217 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
1817eqcomd 2616 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
1915, 18stoic3 1692 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
208, 14, 193jca 1235 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
213eqlei 10026 . . 3 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
221eqlei 10026 . . 3 (𝐵 = 𝐶𝐵𝐶)
232eqlei 10026 . . 3 (𝐶 = 𝐴𝐶𝐴)
2421, 22, 233anim123i 1240 . 2 ((𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2520, 24impbii 198 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator