Theorem lduallmodlem 33457

Description: Lemma for lduallmod 33458. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallmod.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p	⊢ + = ∘𝑓 (+g‘𝑊)
lduallmod.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
lduallmod.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
lduallmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lduallmodlem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		lduallmod.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lduallmod.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 33431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2616	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2611	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		lduallmod.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		lduallmod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
11	8, 9, 2, 10, 4	ldualsca 33437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
12	11	eqcomd 2616	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13		lduallmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝐷))
15		lduallmod.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	9, 15	opprbas 18452	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑂)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
18		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	9, 18	oppradd 18453	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
21	11	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘𝑂))
22		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	9, 22	oppr1 18457	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
25	8	lmodring 18694	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	9	opprring 18454	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	4, 25, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28	2, 4	ldualgrp 33451	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
29	4	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐾)
31		simp3 1056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
32	1, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31	ldualvscl 33444	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
34	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simpr1 1060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
36		simpr2 1061	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
37		simpr3 1062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
38	1, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37	ldualvsdi1 33448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
39	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
41		simpr2 1061	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
42		simpr3 1062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	1, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsdi2 33449	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44		eqid 2610	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
45	1, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsass2 33447	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46		lduallmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
47		lduallmod.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
49	15, 22	ringidcl 18391	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
50	4, 25, 49	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
52		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
53	1, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52	ldualvs 33442	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = (𝑥 ∘𝑓 × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})))
54	46, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52	lfl1sc 33389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∘𝑓 × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})) = 𝑥)
55	53, 54	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
56	6, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55	islmodd 18692	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  opp_rcoppr 18445  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362  LDualcld 33428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-lmod 18688  df-lfl 33363  df-ldual 33429

This theorem is referenced by:  lduallmod  33458