Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualfvs 33441
 Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualfvs.m · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
Assertion
Ref Expression
ldualfvs (𝜑 = · )
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘)   (𝑓,𝑘)   · (𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2610 . . . 4 ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
9 eqid 2610 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2610 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
11 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 33430 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14 ldualfvs.s . 2 = ( ·𝑠𝐷)
15 ldualfvs.m . . 3 · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
16 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
177, 16eqeltri 2684 . . . . 5 𝐾 ∈ V
18 fvex 6113 . . . . . 6 (LFnl‘𝑊) ∈ V
194, 18eqeltri 2684 . . . . 5 𝐹 ∈ V
2017, 19mpt2ex 7136 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
21 eqid 2610 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
2221lmodvsca 15844 . . . 4 ((𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
2320, 22ax-mp 5 . . 3 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2415, 23eqtri 2632 . 2 · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2513, 14, 243eqtr4g 2669 1 (𝜑 = · )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {csn 4125  {ctp 4129  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘𝑓 cof 6793  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  opprcoppr 18445  LFnlclfn 33362  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  ldualvs  33442
 Copyright terms: Public domain W3C validator