Theorem ldgenpisyslem1 29553

Description: Lemma for ldgenpisys 29556. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem1	⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3650	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2		dynkin.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		pwexg 4776	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4		rabexg 4739	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5		elpwg 4116	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
7	1, 6	mpbiri 247	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8		0elpw 4760	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑂
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
10		dynkin.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
11	10	isldsys 29546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
12	11	simprbi 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
13	12	simp1d 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
14	13	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
15	14	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
16	15	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
17		0ex 4718	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	elintrab 4423	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19	16, 18	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
20		in0 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
21		ldgenpisys.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
22	19, 20, 21	3eltr4g 2705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
23		ineq2 3770	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
24	23	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
25	24	elrab 3331	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
26	9, 22, 25	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
27		ineq2 3770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑥))
28	27	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
29	28	elrab 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
30		pwidg 4121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
31	2, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
33	32	elpwdifcl 28742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
34	10	pwldsys 29547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
36		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
37		dynkin.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
38	37	ispisys 29542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
39	36, 38	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
40	39	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
41	40	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
42		sseq2 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
43	42	intminss 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
44	35, 41, 43	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
45	21, 44	syl5eqss 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
46		ldgenpisyslem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
47	45, 46	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
48	47	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
49	48	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
50		difin 3823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∖ 𝑥)
51		difin2 3849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
52	50, 51	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
53		incom 3767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥))
54	52, 53	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
55		difuncomp 28752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
56	54, 55	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
58		difeq2 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → (𝑂 ∖ 𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
59	58	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → ((𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡))
60	12	simp2d 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
61	60	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
62		difeq2 3684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑦))
63	62	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡))
64	63	cbvralv 3147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
65	61, 64	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
66		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
67	46, 21	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
68		elintrabg 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
69	46, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
70	67, 69	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
71	70	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
72	71	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
73	72	adantllr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
74		difeq2 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐴))
75	74	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡))
76	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
77		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
78	75, 76, 77	rspcdva 3288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
79	66, 73, 78	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
80		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
81	80	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)
82	81, 21	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
83		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
84	83	inex2 4728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V
85		elintrabg 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
87	82, 86	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
88		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
89		rspa 2914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
90	89	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
91	87, 66, 88, 90	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
92		incom 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))
93		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴
94		disjdif 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
95		ssdisj 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
96	93, 94, 95	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
97	92, 96	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅)
99	10, 66, 79, 91, 98	unelldsys 29548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) ∈ 𝑡)
100	59, 65, 99	rspcdva 3288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡)
101	57, 100	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)
102	101	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
103	102	ralrimiva 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
104		inex1g 4729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
105	46, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
107		elintrabg 4424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
109	103, 108	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
110	109, 21	syl6eleqr 2699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸)
111	33, 110	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
112	29, 111	sylan2b 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
113		ineq2 3770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
114	113	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
115	114	elrab 3331	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
116	112, 115	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
117	116	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
118	2	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
119		sspwb 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
120	1, 119	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
121		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
122	120, 121	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
123	118, 122	elpwunicl 28754	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
124		uniin2 28751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥)
125		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
126	125	inex2 4728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ V
127	126	dfiun3 5301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
128	124, 127	eqtr3i 2634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
129		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
130		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
131		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
132		nfdisj1 4566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
133	131, 132	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
134	130, 133	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
135		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑡 ∈ 𝐿
136	134, 135	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿)
137		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑇 ⊆ 𝑡
138	136, 137	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡)
139		elpwi 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
140	139	ad4antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
141	140	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
142		ineq2 3770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑦))
143	142	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
144	143	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
145	144	simprbi 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
146	141, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
147		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝐿)
148		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
149	21	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
150	126	elintrab 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
151	149, 150	bitri 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
152		rspa 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
153	151, 152	sylanb 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
154	153	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
155	146, 147, 148, 154	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
156	155	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
157	138, 156	ralrimi 2940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
158		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
159	158	rnmptss 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
160	157, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
161	129, 160	sselpwd 4734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
162		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
163	162	simpld 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
164		1stcrestlem 21065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
166	162	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
167		disjin2 28782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦))
168		disjrnmpt 28780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
169	166, 167, 168	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
170		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
171	170	nfrn 5289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
172		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
173		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧)
175	171, 172, 173, 174	cbvdisjf 28767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦 ↔ Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
176	169, 175	sylibr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)
177		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω))
178	173, 171	disjeq1f 28769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦))
179	177, 178	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)))
180		unieq 4380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ∪ 𝑧 = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)))
181	180	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
182	179, 181	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)))
183	12	simp3d 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
184		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
185		disjeq1 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
186	184, 185	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
187		unieq 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
188	187	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
189	186, 188	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡)))
190	189	cbvralv 3147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
191	183, 190	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
192	191	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
193		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
194	182, 192, 193	rspcdva 3288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
195	194	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
196	129, 161, 165, 176, 195	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
197	128, 196	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡)
198	197	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
199	198	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
200		vuniex 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
201	200	inex2 4728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ V
202	201	elintrab 4423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
203	199, 202	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
204	203, 21	syl6eleqr 2699	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸)
205		ineq2 3770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥))
206	205	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸))
207	206	elrab 3331	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸))
208	123, 204, 207	sylanbrc 695	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
209	208	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
210	209	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
211	26, 117, 210	3jca 1235	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})))
212	10	isldsys 29546	. 2 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))))
213	7, 211, 212	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∩ cint 4410  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  ficfi 8199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  29554